Wave Equation
波は、なぜ勝手に動くのか
弦の各点は、上下に動くだけです。横に移動している点は1つもありません。それでも、形だけが横へ進んでいきます。この不思議を1行で説明してしまうのが、波動方程式です。動かしながら読んでみてください。
グラフの上をドラッグすると、注目する点を動かせます。数式のどこを見ているのか、その場で分かります。
両辺を同じ色にしてあります。等しいからです。左は「その点がどう加速するか」、右は「その点がまわりからどれだけズレているか」。この2つは同じものだ、というのが波動方程式の主張です。
- 注目点の位置 x
- —
- 変位 u
- —
- 速度 ∂u/∂t
- —
- まわりの平均 − u
- —
- 加速度 c²∂²u/∂x²
- —
注目点から左右に伸びる破線は「両隣を結んだ線」です。そこから縦に伸びる金色の矢印が、平均からのズレ＝加速度になります。見やすさのため、両隣は少し離してとってあります。キーボードでも、グラフをクリックしてから左右キーで動かせます。
出てくる量は、3つだけです
変位 u
その点が、静かなときの位置からどれだけ上下にずれているか。曲線そのものと、その上に並ぶ粒です。
速度 ∂u/∂t
その点がいま上下どちらへ、どのくらいの速さで動いているか。粒の左側に出る矢印です。
加速度 c²∂²u/∂x²
その点が次にどちらへ引っぱられるか。粒の右側に出る金色の矢印で、まわりとのズレそのものです。
粒はどれも、真上と真下にしか動きません。横に移動している粒は1つもない、というのがこの図の一番の見どころです。
加速度は「まわりとのズレ」で決まる
∂²u/∂x² は、教科書では「曲率」と呼ばれます。ただ、意味はもっと素朴です。その点が、両隣の平均よりどれだけ下にいるか。それだけです。
両隣の平均より下にいれば、上へ引き上げられます（加速度は上向き）。上にいれば、下へ引き戻されます。弦を細かいおもりとばねの列だと思えば当たり前で、ばねは自分の両隣としかつながっていないのですから、その点が感じる力は「両隣との高さの差」以外にありようがありません。
波動方程式は、この当たり前を1行で書いたものです。加速度＝まわりとのズレ。c² は、その引き戻しの強さを決める係数にすぎません。
波は、右と左に分かれて進む
上下にしか動かない粒の集まりから、なぜ「横へ進む形」が生まれるのか。答えは、1次元の波動方程式の解がかならず次の形に書けることにあります。
f は形を変えずに右へ、g は左へ、どちらも速さ c で滑っていくだけの関数です。どんなはじめの形も、この2つに分解できます。シミュレーションで「静かに置いた山」を選ぶと山が左右に割れるのは、比喩ではなく文字どおりこの分解が起きているからです。
運ばれているのは、物ではなく形
c は「粒が動く速さ」ではありません。形が伝わる速さです。海の波に浮かぶ浮きが、その場で上下するだけで沖へ運ばれないのと同じことです。
シミュレーションで c を上げると、山が端に届くまでの時間が短くなります。一方で、各点の上下運動そのものは激しくなります。加速度が c² に比例するのですから当然で、同じ形なら速い媒質ほど強く引き戻されている、ということになります。
端の条件を「吸収端」に切り替えると、波は端に着いたまま消えます。反射も定在波も起きません。「固定端」では上下が反転して跳ね返り、行きと帰りが重なって定在波になります。定在波は、進む波が2つ重なった結果でしかありません。
何も生まれず、何も消えない
流体の「連続の式」の可視化が伝える核心は、質量は移動するだけで生まれも消えもしない、ということでした。波動方程式にも、同じ位置を占めるものがあります。エネルギーです。
グラフ下のバーが、それを示しています。明るい緑が運動エネルギー（動いている分）、濃い緑が位置エネルギー（弦が張られて曲がっている分）。2つは絶えず入れ替わりますが、減衰を 0 にしておけば合計はほとんど変わりません。谷を通過する瞬間に運動が最大になり、折り返しの瞬間に位置が最大になる — この呼吸が、波の正体です。
減衰を上げると合計が減っていきます。これは方程式に 2γ ∂u/∂t という項を足した場合で、そのぶん波動方程式ではなくなっている、ということでもあります。
| 連続の式 | 波動方程式 | |
|---|---|---|
| 式 | ∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0 | ∂²u/∂t² = c²∇²u |
| 主役 | 密度 ρ | 変位 u |
| 言っていること | 中身の増減は、境界の出入りの差に等しい | 一点の加速度は、まわりとのズレに等しい |
| 保存するもの | 質量 | エネルギー（減衰がないとき） |
| 見た目 | 粒子が境界を出入りする | 各点は上下するだけで、形だけが進む |
| 時間の階数 | 1階（そのまま流れる） | 2階（行き過ぎて戻る） |
時間についての階数が、2つの式の性格を分けています。1階なら「そのまま流れる」、2階なら「行き過ぎて戻る」。波が振動するのは、右辺が力（加速度）として働くからです。
「動かせる教材」を、つくります
このページは、式を1行ずつ言葉に直しながら、その場で動かして確かめられるように作った教材です。同じやり方で、御社の設備・製品・業務のしくみも「動かせる説明」に変えられます。
社内教育、展示会のデモ、採用説明会の資料など。お問い合わせからお気軽にご相談ください。